Zajímavé matematické úlohy

Řešení: Při prvním pohledu vidíme řešení $x=\pm \sqrt{3}$ a $x=\pm \sqrt{4}=\pm 2$ 

Ale, jsou všechna? Takže 

$y=x^2-3$

$\sqrt[3]{1-y}+\sqrt{y}=1$

 $z=\sqrt{y}$

$\sqrt[3]{1-z^2}+z=1$

 $\sqrt[3]{1-z^2}=1-z$

$1-z^2=1-3z+3z^2-z^3$

$z^3-4z^2+3z=0$

 $z=0$

z toho $0=x^2-3$ a proto $x=\pm \sqrt{3}$

$z^2-4z+3=0$

$(z-1)(z-3)=0$

z toho

$z=1$ a tedy $1=x^2-3$ a proto $x=\pm 2$

 nebo

$z=3$ a tedy $9=x^2-3$ a proto $x=\pm \sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$

 Pak tedy $K=\{\pm 2,\pm \sqrt{3},\pm 2\sqrt{3}\}$ 

Řešení: úloha spíše na lehké procvičení 

$\sqrt{x+6}=6-\sqrt{x}$ 

$x+6=36-12\sqrt{x}+x$ 

$30=12\sqrt{x}$ 

$\sqrt{x}=\frac{5}{2}$ 

$x=\frac{25}{4}$ 

Řešení:

Nebudu řešení přepisovat, podívejte se na video

Řešení:

Vidíme, že pro 1 bude rovnice platit, tedy x=1. Ale, jsou to všechna řešení?

Tak

$(2+\sqrt{3}{)}^x+(2-\sqrt{3}{)}^x=4$

Platí

$2+\sqrt{3}=\frac{1}{2-\sqrt{3}}$

Pak

$(2+\sqrt{3}{)}^x+\frac{1}{(2+\sqrt{3}{)}^x}=4$

$A=(2+\sqrt{3}{)}^x$

$A+\frac{1}{A}=4$

$A^2-4A+1=0$

 $A_{1,2}=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$

$(2+\sqrt{3}{)}^x=2\pm \sqrt{3}$

$x=\pm 1$ 😄

 chytrá úloha, chvíli trvá, než se na řešení přijde (nejjednodušší je místo x si  myslet y² ) a pak je to triviální

$x\sqrt{x}-10\sqrt{x}-\sqrt{x}=10$

$x\sqrt{x}-\sqrt{x}=10+10\sqrt{x}$

$\sqrt{x}\cdot (x-1)=10(1+\sqrt{x})$

$\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=10(1+\sqrt{x})$

$\sqrt{x}\cdot (\sqrt{x}-1)=10$ 

$x-\sqrt{x}=10$

 $x^2+y^2=2009$

Platí $2009=7^2\cdot 41$

 $2009=7^2\cdot (16+25)=7^2\cdot 4^2+7^2\cdot 5^2={28}^2+{35}^2$

 Tak jedno řešení máme. Ale je to všechno?

Sllový důkaz pomocí MS EXCEL ukazuje, že ano.

A analyticky?

Jediná možnost rozložení čísla 2009 na Gaussovská prvočísla je

$2009=7^2\cdot 41=7^2\cdot (3+4i)(3-4i)$

kde 7 je Gaussovské prvočíslo. Pak tedy existuje pouze jediná kombinace vedoucí na součet druhých mocnin a ta je uvedená výše.

Řešení: - téměř standardní úloha

 $\frac{1}{3}\log x=\sqrt{\log x}$

$y^2=\log x$

$\frac{y^2}{3}=y$

$y^2-3y=0$

$y=0$ nebo $y=3$

$x=1$ nebo $x={10}^9$ 

Řešení: opět standard

$3^x=5^3\cdot 5^x$

$\frac{3^x}{5^x}=5^3$

 $(\frac{3}{5}{)}^x=5^3$

$x\cdot \log \frac{3}{5}=3\log 5$

$x=\frac{3\log 5}{\log 3-\log 5}$

Řešení:

$3^x+3^{2-x}=6$

$3^x+3^2\cdot 3^{-x}=6$

 $y=3^x$

$y+\frac{9}{y}=6$

$y^2-6y+9=0$

$(y-3{)}^2=0$

$y=3$

$x=1$ a tedy i  $y=1$

Velice hezká úloha. Řešení:

$x=\frac{\log 225}{\log 3}$

$y=\frac{\log 225}{\log 5}$

$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\log 2}{\log 225}+\frac{\log 5}{\log 225}=\frac{\log 3+\log 5}{\log 225}=\frac{\log 15}{\log ({15}^2)}=\frac{\log 15}{2\cdot \log 15}=\frac{1}{2}$

a tedy $\frac{xy}{x+y}=2$

Řešení:  $\sqrt{10+x}=10-\sqrt{x}$ a umocníme $10+x=100-20\sqrt{x}+x$ tj. $90=20\sqrt{x}$ a tedy $\sqrt{x}=\frac{9}{2}$ 

Tedy $x=\frac{81}{4}$

Řešení: mysleme si $x=4^y$  pak $4^{y\cdot 4^y}=4^{4^y+16}$ a tedy $y\cdot 4^y=4^y+16$ a pak $(y-1)\cdot 4^y=16$

Pokud vydělíme 4, pak $(y-1)\cdot 4^{y-1}=4$ Je snad vidět, že $y=2$ .

Pokud ne , pak

$(y-1)\cdot \exp ((y-1)\log 4)=4$ a vynásobíme rovnici $\log 4$

$(y-1)\log 4\cdot \exp ((y-1)\log 4)=4\log 4$

tedy  $(y-1)\log 4=W(4\log 4)$ a $y=1+\frac{W(4\log 4)}{\log 4}$ a pomocí Wolfram Alfa nebo přímo z definice Lambertovy funkce zjistíme, že $W(4\log 4)=\log 4$ 

Tedy $x=16$

Poznámka: $\log$ je přirozený logaritmus.

Lambertova W funkce je definována pro komplexní čísla jako $W(z)=z\cdot e^z$

Tedy pro pro rovnici v reálných číslech $F\cdot e^F=A$ máme řešení pro A $F=W(A)$ kde F může být jakýkoliv výraz s neznámou x.

Platí $W(x\log x)=\log x$ pro $x\ge \frac{1}{e}$

viz https://en.m.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

 Řešení:

$a^5+a^4+1=a^3(a^2+a)+1=a^3\cdot (-1)+1=-a^3+1=(1-a)(a^2+a+1)=0$

 😅

 Řešení:

$328=101001000=2^8+2^6+2^3=2^8+4^3+8^1$

ale to není jediné řešení, tedy pro všechna řešení

 😆

Řešení:

 $\frac{2}{35}=\frac{x+y}{xy}$

$2xy=35(x+y)$

$2xy=35x+35y$ 

$35x-2xy+35y=0$ 

$x(35-2y)+35y=0$ 

$x=\frac{35y}{2y-35}$ 

$y\ge 18$

$x\ge 18$

$\frac{35y}{2y-35}\ge 18$ 

$35y\ge 18(2y-35)$

$-y\ge -35$

$y\le 35$

A nyní finta s rozkladem

 $2xy-35x-35y=0$ 

 $x(2y-35)-\frac{35}{2}(2y-35)-\frac{{35}^2}{2}=0$ 

 $(2y-35)(x-\frac{35}{2})=\frac{{35}^2}{2}$ 

 $(2y-35)(2x-35)={35}^2$ 

$(2y-35)(2x-35)=5^2\cdot 7^2$ 

  Tedy

Řešení:

$(m+\sqrt{mn}+n)(m-\sqrt{mn}+n)=m^2+mn+n^2$

Tedy

$18(m-\sqrt{mn}+n)=108$

$m-\sqrt{mn}+n=6$