Zaškrtnutí odpovědí na obrázcích (pokud je zaškrtnuto) je náhodné, neoznačuje správné řešení.
Řešení 9-Ox
\( r_1^2+1^2=r_2^2 \)
\( r_n^2+1=r_{n+1}^2 \)
\( r_{100}=? \)
\( r_1=1 \)
\( r_2=\sqrt 2 \)
\( r_3=\sqrt 3 \)
atd. Tedy
\( r_n=\sqrt {n} \)
\( r_{100}=\sqrt {100} =10 \)
Řešení 10-Ox
\( x^2-4kx+y^2-4y+8=k^3-k \)
\( x^2-4kx+2k^2-4k^2+y^2-4y+4+4-k^3+k=0 \)
\( (x-2k)^2+(y-2)^2-k^3-4k^2+k+4=0 \)
\( (x-2k)^2+(y-2)^2=k^3+4k^2-k-4 \)
\( (x-2k)^2+(y-2)^2=k^2(k+4)-(k+4) \)
\( (x-2k)^2+(y-2)^2=(k+4)(k^2-1) \)
Poloměr kružnice musí být kladné číslo
\( (k+4)(k^2-1) >0 \)
\( (k+4)(k+1)(k-1) >0 \)
Intervaly a znamenko funkce
\( (-\infty,-4) minus \)
\( <-4,-1) plus\)
\( <-1,+1) minus \)
\( <+1,\infty) plus \)
Správná odpověď je tedy a.
Řešení 11-Ox
\(f(x)= 3\cos^2{x}+2\sin{x}+1 \)
po derivaci
\(f'(x)= -6\cos{x}\sin{x}+2\cos{x} \)
\(f'(x)= 2\cos{x}( 1-3\sin{x} )\)
Podezřelé body extrémů
\(\cos{x}=0 \)
Pak
\( \sin{x}=\pm1 \)
a tedy
\( f(x)=3\cos^2{x}+2\sin{x}+1 = -1, 3\)
\( 1-3\sin{x}=0 \)
\( \sin{x}=\frac{1}{3} \)
Pak
\( \cos{x}=\sqrt{1-\frac{1}{3}^2} =\sqrt{\frac{8}{9}}\)
\( \cos^2{x}=\frac{8}{9} \)
a tedy
\( f(x)=3\cos^2{x}+2\sin{x}+1 = 3\frac{8}{9}+2\frac{1}{3}+1=\frac{13}{3}\)
Největší hodnota je tedy \(\frac{13}{3}\)
Řešení 12-Ox
Potřebujeme rovnici tečny
\( y= 2ax-a^2 \)
Průsečík tečny s osou x je
\( p=\frac{a}{2}\)
Pak
\(S=S_1+S_2= \int_0^{\frac{a}{2}}{x^2 dx}+\int_{\frac{a}{2}}^{a}{(x^2-2ax+a^2) dx} = \)
\(=[ \frac{x^3}{3} ]_0^{\frac{a}{2}} + [ \frac{x^3}{3}-2a\frac{x^2}{2}+a^2 x ]_{\frac{a}{2}}^a=\)
\( =\frac{a^3}{24}-0 +\frac{a^3}{3}-2a\frac{a^2}{2}+a^3 - ( \frac{a^3}{24}-2a\frac{a^2}{8}+\frac{a^3}{2} ) = \)
\( =\frac{a^3}{3}-a^3+a^3 +\frac{a^3}{4}-\frac{a^3}{2} ) =\frac{4a^3+3a^3-6a^3}{12} = \frac{a^3}{12} \)
