Řešení matematických úloh z časopisu Všehochuť 9-22

1. Dokažte, že skrojek z koule se rovná polovičnímu součtu z válce, s nímž má podstavu i výšku společnou, a z koule, která má za průměr výšku skrojka.

Označme poloměr koule r ,  poloměr podstavy kulové úseče (skrojku) ρ a výšku skrojku v.

No pokud by to byl test na znalost vzorců zpaměti, pak ...

Objem skrojku je \( V_{sk}=\frac{1}{6}\pi v(3\rho ^2+v^2)  \) , objem malé koule je  \( V_m=\frac{4}{3}\pi (\frac{v}{2})^3\) a objem polovičního válce je \(V_v=\pi\rho^2(\frac{v}{2})\). No a dáme to dohromady.

 \( V_m+V_v=\frac{4}{3}\pi (\frac{v}{2})^3+\pi\rho^2(\frac{v}{2})=\pi( \frac{v^3}{6}+\frac{v\rho^2}{2})=\frac{1}{6}\pi v(3\rho ^2+v^2) \) 

2. Urči vzdálenost kostela na Kopečku od kostela na N. Hradci, když je vidí ze dvou míst oken gymnasia, která jsou od sebe 8 stop vzdálena. Z místa A ku kostelu v N. H. a k místu B hledíme pod úhlem 102^o14´; ku kostelu na Kopečku a k B pod úhlem 54^o20´. Z místa B ku kostelu na Kopečku a ku A hledíme pod úhlem 108^o; ku kostelu v N. Hradci a ku A pod úhlem 42^o18´.

 Bey kalkulaček dnes práce pro maniaky. Jinak typická trigonometrie a sinové a kosinové věty.

 Pomocí sinových vět spočteme velikost úseček Ac a AD a pak pomocí kosinové věty i CD. Jako pomocné výpočty - určení velikostí úhlů u bodu C a D  tj. ∠ACB a ∠ADB.

\( \angle ACB=180^o- 42^o18' -102^o14'= 35^o28' \)

\( \angle ADB=180^o- 54^o20' -108^o=17^o40'  \)

a ještě pro kosinovou větu

\(\angle CAD=102^o14'-54^o20'=47^o26' \)

Pak \(\frac{AC}{\sin42^o18'}=\frac{AB}{\sin35^o28'} \) a

\(\frac{AD}{\sin108^o}=\frac{AB}{\sin17^o40'} \).

Pak kosinová věta  \( CD^2=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cos(47^o26') \)

\(AC=8\frac{\sin42^o18'}{\sin35^o28'} \)

\(AD=8\frac{\sin108^o}{\sin17^o40'} \)

 \( CD^2=64\cdot ( (\frac{\sin42^o18'}{\sin35^o28'})^2+(\frac{\sin108^o}{\sin17^o40'} )^2-2\cdot (\frac{\sin42^o18'}{\sin35^o28'} )\cdot (\frac{\sin108^o}{\sin17^o40'}  )\cos(47^o26') ) \)

 a teď si vezmete matematické tabulky a logaritmické pravítko a jedem. Ne, my pojedeme přes MS EXCEL. Tam pozor na zadávání velikostí úhlů ve funkcích sin a cos - musí být v radiánech.

 Výsledky jsou nějaké matoucí. No určitě neodpovídají realitě, kostel na N.H. by stál kousek před oknem... 

3. Urči, které křivce náleží rovnice \( y^2=4(1+\frac{1}{9}x^2) \)a ustanov, kolik bodů může míti s přímkou \(y=\frac{1}{9}x+2\)společných.

 Upravíme rovnici křivky na standardní tvar \( 9y^2-4x^2-4=0 \) nebo \( 4x^2-9y^2+4=0 \). Jedná se o hyperbolu s osou totožnou s osou y.

 A společné body:  \(9(\frac{1}{9}x+2 )^2-4x^2-36=0 \) tj.  \(\frac{1}{9}x^2+2x+36-4x^2-36=0 \)

 \(\frac{1}{9}x^2+4x-4x^2=0 \)

 \(\frac{-35}{9}x^2+4x=0 \)

  \(35x^2-36x=0 \)

  \( x(35x-36)=0 \)

z toho

\(x=0\) nebo \(x=\frac{36}{35}\)

 Tak máme dva průsečíky

\(K=\{[0;2],[\frac{36}{35};\frac{74}{35}]\}\)

A ještě grafické řešení (zlatá Geogebra)

A bylo něco navíc

1/9/22

Platí \( a-b=11\)  a \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=11 \). Kolik je a, b ?

 Mysleme si, že \(a=x^2\) a \(b=y^2\)

Pak \(x^2-y^2=11\) a \(x+y=11\)

tedy \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)=11(x-y)=11\) a z toho

\(x-y=1\) pak \(2x=12\) a tedy \(x=6\) a \(y=5\)

Výsledek pro a, b  je \( K=\{[36;25]\}\)

2/9/22

 x. y jsou racionální čísla. Řešte: \( \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

 Umocníme na druhou a dostaneme \( x+y+2\sqrt{xy}=2+\sqrt{3}\).

Pokud se vyžaduje jen jedno řešení, pak řešíme soustavu

\(x+y=2\) a \(xy=\frac{3}{4}\)

\(x+\frac{3}{4x}=2\) tj. \(4x^2-8x+3=0\) a z toho

\( x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{16}}{8}=\frac{3}{2}, \frac{1}{2} \), y je symetrické

 Tedy řešení \( K=\{[\frac{3}{2}, \frac{1}{2} ],[\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ]\}\).

No dobrá, i když se jedná o úlohu MO chybí mi diskuze, že toto řešení je jediné.

Tady je graf funkce \( \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2+\sqrt{3}}\)

3/9/22

 Určete obvod trojúhelníka ABC

Asi úloha pro ZŠ. Úhel u vrcholu B je také 70^o  , trojúhelník je rovnoramenný. Polovina strany AB s kolmicí na C tvoří pravoúhlý troj. a podle ZŠ definice sinu pak

\(\frac{AB}{2}=9\sin 20^o\) Pak \(O=18(1+\sin20^o)=24,156 \)

4/9/22

Tak to je jiné kafe, ale krásně oslazené.

Trojúhelník ACD je shodný s trojúhelníkem CED podle SSU. Tedy DE=4.  No a co ten kousek? 

  Tak jinak. Určíme úhel GAD a pak kosinová věta. Trojúhelník AGD je rovnoramenný, úhel u vrcholu D je \( \alpha \) a  \(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\) tedy \( \tan\alpha=\frac{4}{3}\)

uhel GAD je \( \pi - 2\alpha \)

tedy \( DG^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4 \cos (\pi-2\alpha)=32(1+\cos{2\alpha}) \)

\(cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha-1=2\frac{1}{1+\tan^2\alpha}-1=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}= -\frac{7}{25}\)

tj. \( DG^2=32(1+\cos{2\alpha}) =32\cdot \frac{18}{25}=23,04\)

\( DG = 4,8 \)

a je to.