Maturita z matematiky
Maturitní práce z matematiky
Théma:
1. K trhání skal potřebujeme se prach, k němuž se beře ledku a uhlí v poměru 16:5 a zároveň činí množství ledku a síry poměr 10:3. Mnoholi kilogramů ledku, uhlí a síry budu potřeby ku zhotovení 5934 kg. prachu?
Řešení:
Nechť množství ledku je X. Pak uhlí je \( U=\frac{5}{16}X \) a síry \(S=\frac{3}{10}X \).
Množství prachu pak je \(P=X+U+S =X+\frac{5}{16}X +\frac{3}{10}X =(1+\frac{5}{16} +\frac{3}{10})X=\frac{258}{160}X\)
Pak \(X=\frac{80}{129}P=\frac{80}{129}\cdot 5934kg = 3680kg\), \(U=\frac{5}{16}3680=1150kg \), \(S=S=\frac{3}{10}3680 = 1104kg\)
2. Ukáže se, že goniometrický výraz \( 1-\tan^2\alpha\cdot\tan^2\beta \) se rovná výrazu\( \frac{\cos(\alpha+\beta)\cdot(\cos(\alpha-\beta)}{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}\)
Řešení:
$$ 1-\tan^2\alpha\cdot\tan^2\beta =1-\frac{\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta}{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}= \frac{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta-\sin^2\alpha\cdot\sin^2\beta}{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}= $$
$$=\frac{(\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta)\cdot(\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta)}{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta}= $$
$$=\frac{\cos(\alpha+\beta)\cdot\cos(\alpha-\beta)}{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\beta} $$ 
3. Vyzpytuje se, zdali se přímka, jejíž rovnice jest y = x+2 s křivkou druhého stupně, jejíž rovnice zní \( x^2+9y^2-2xy+4x+5y+\frac{209}{32}=0\), protíná, neb se jí dotýká a neb ji konečně neprotíná, jakož se i ustanoví průsečné body nebo pro případ bod dotýčný.
Řešení:
$$x^2+9(x+2)^2-2x(x+2)+4x+5(x+2)+\frac{209}{32}=0$$
$$x^2+9(x^2+4x+4)-2x^2-4x+4x+5x+10+\frac{209}{32}=0$$
$$x^2+9x^2+36x+36-2x^2-4x+4x+5x+10+\frac{209}{32}=0$$
$$x^2+9x^2+36x+36-2x^2-4x+4x+5x+10+\frac{209}{32}=0$$
$$8x^2+41x+46+\frac{209}{32}=0$$
$$8x^2+41x+\frac{1681}{32}=0$$
$$D=41^2-4\cdot 8 \cdot\frac{1681}{32}=0$$
Přímka se křivky dotýká v jednom bodě o souřadnicích
$$ x=-\frac{41}{16}$$
$$ y=\frac{1}{16}$$
A NĚCO Z MATEMATIKY NAVÍC
Vyřešte následující úlohy:
1. Trénink na matematickou olympiádu.
\( 2^{x-y} - x-y=0 \)
\(2 - (x+y)^{x-y}=0 \)
Určete x a y.
Řešení:
$$ 2^{x-y} = x+y $$
$$ 2 - ({2^{(x-y)})^{(x-y)}}=0 $$
$$ 2 - 2^{(x-y)\cdot(x-y)}=0 $$
$$ (x-y)\cdot(x-y)=1 $$
$$ (x-y)^2=1 $$
$$ x-y=\pm 1 $$
$$y=x\pm 1$$
1. \( y=x+1\)
$$2^{-1}-x-x-1=0$$
$$\frac{1}{2}-1-2x=0$$
$$2x=\frac{1}{2}-1$$
$$x=-\frac{1}{4}$$
$$y=\frac{3}{4}$$
1. \( y=x-1\)
$$2^1-x-x+1=0$$
$$2+1=0$$
není řešení
Jediné řešení \(x=-\frac{1}{4}\) \(y=\frac{3}{4}\)
2. Je dán rovnostranný trojúhelník. Určete součet x+y když z=69. x,y,z jsou velikosti příslušných úseček.
Řešení:
Platí \( z= x\cos\alpha+y\cos\alpha \) kde \(\alpha\) je úhel při základně, ale ten je 60 stupňů. Tedy \( z=(x+y)\cos\alpha=(x+y)\frac{1}{2}\)
Tedy \( x+y =2z = 138\)
3. A jedna z testových úloh z matematických kompetencí SSC. Jestliže \(x(x - 3) = -1\) pak kolik je \(x^3 (x^3 - 18) = ?\)
Možnosti: 2, 0, 1, -1. Na řešení máte 90 sekund.
Řešení:
\( -1^3=-1= (x(x - 3))^3=x^3(x^3-9x^2+27x-27)=x^3(x^3-9x(x-3)-27)=\)
\(=x^3(x^3-9(-1)-27) =x^3(x^3-18)= -1\) 
