Maturita 1909 - ústní otázky
Toto jsou opravdu elementární úlohy, jenom dřina, nic nového.
1. Na přímce P: 3x + 4y + 5 = 0 najděte bod m0, který je bodu m1(1; 2) nejblíže.
Řešení
Náčrtek
Dvě metody řešení
- první metoda - buď máme nebo si odvodíme vzorec pro vzdálenost bodu A k přímce p (pokud máme vzorec je to brnkačka)
\( v=\frac{a\cdot m_1+b\cdot m_2+c}{\sqrt{a^2+b^2}} =\frac{3\cdot 1+4\cdot 2+5}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{16}{5}=3.2\)
- druhá metoda - vyjádříme vzdálenost libovolného bodu na přímce p a bodu A jako funkci a určíme její minimum a to je teprve pořádná legrace
\( v=\sqrt{(x-1)^2+(\frac{-3x-5}{4}-2)^2}=\sqrt{x^2-2x+1+\frac{9x^2+78x+169}{16}}\)
\( v=\frac{1}{4}\sqrt{16x^2-32x+16+9x^2+78x+169}=\frac{1}{4}\sqrt{25x^2+46x+185} \)
\( v' =\frac{1}{4}\frac{50x+46}{sqrt{25x^2+46x+185}} =0\)
\( x=\frac{-23}{25}=-0,92 \)
\(y = \frac{-3\cdot\frac{-23}{25}-5}{4}=\frac{-56}{100}=-0,56 \)
No jo, ale chceme vzdálenost v, tak
\( v=\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}= \sqrt{1,92^2+2.56^2} =3,2 \)
2. Pravidelný šestiúhelník o straně a otočí se kolem hlavní úhlopříčky; vypočítejte povrch a obsah vzniklého tělesa.
Řešení:
Náčrtek:
Jedná se o součet objemů rotačních těles - dvou kuželů a válce - musíme spočítat velikost dílčích úseček, na které se po spuštění kolmic z bodu A rozdělí hlavní úhlopříčka a pak jen použijeme vzorce pro objemy základních těles tj.
\( V=2\cdot V_{kuzel}+V_{valec}=2\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot u^2\cdot v+\pi u^2\cdot(2a-2v) = 2\pi u^2(\frac{1}{3}v+a-v)=2\pi u^2\cdot\frac{2a}{3}=\)
\(=\pi (\frac{\sqrt{3}a}{2} )^2\cdot\frac{2a}{3}= \frac{1}{2}\pi a^3 \)
a povrch
\(S = 2S_{plastkuzel}+S_{valec}=2\cdot a \cdot \pi u+a\cdot 2\pi u\cdot = 4\pi ua= 4\pi \frac{\sqrt{3}a}{2}\cdot a= 2\sqrt{3}\pi a^2 \)
🤪
3. \( \frac{1}{5-\log{x}}+\frac{1}{1+\log{x}}=1 \)
Řešení:
Provedeme si substituci \( y=\log{x}\) a rovnici upravíme do lineárního tvaru
\( \frac{1}{5-y}+\frac{1}{1+y}=1 \)
\( 1+y+ 5-y =(5-y) \cdot (1+y) \)
\( 6= 5+4y-y^2 \)
\( y^2-4y+1=0\)
\( y_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}\)
Můžete si provést ověření, že y je řešení substituované rovnice a poněvadž jsou obě čísla kladná, pak
\( x=10^{2\pm\sqrt{3}}\)
A něco navíc
Zde jsem zvolil metodu řešení - proč bych to měl řešit, když už je to vyřešené 
Úloha 1
\( \sqrt[3]{4-x^2}+\sqrt{x^2-3}=1\)
Řešení
Úloha 2
\( \sqrt{x+6}+\sqrt{6}=6\)
a to byl překlep v zadání řešení je jednoduché přes umocňování, ale
\( \sqrt{x+6}+\sqrt{x}=6\)
Řešení
Úloha 3
\( a!\cdot b!=a!+b!+c! \)
Řešení
Úloha 4
\( (2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=4 \)
Řešení
