A NYNÍ JSME NA GYMNÁZIU V ROCE 1924
Městské dívčí reformní reálné gymnázium v Hradci Králové
Výběr úloh z ústní části maturitní zkoušky.
1. Pro které úhly platí vztah funkcí
\(\sin^2x+\cos^2x +\tan^2x+\cot^2x+\sec^2x+\csc^2x = 7 \)
Řešení:
\( 1 +\tan^2x+\cot^2x+\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x} = 7 \)
\( \frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}+\frac{1}{\cos^2x}+\frac{1}{\sin^2x} = 6 \)
\( \sin^4x+\cos^4x+\cos^2x +\sin^2x = 6\sin^2x \cos^2x \)
\( \sin^4x+(1-\sin^2x)^2+1-\sin^2x +\sin^2x = 6\sin^2x (1-\sin^2x) \)
\( \sin^4x+1-2\sin^2x+\sin^4x+1 = 6\sin^2x -6\sin^4x \)
\(8 \sin^4x-8\sin^2x+2 =0 \)
\( A=sin^2x \)
\(8 A^2- 8A + 2 =0 \)
\(D=64-4\cdot 2 \cdot 8=0 \)
\( A=\frac{8}{16}= \frac{1}{2} \)
\( sin^2x =\frac{1}{2}\)
\( sinx =\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x_1=45^o+k\cdot 180^o \)
\(x_2=135^o+k\cdot 180^o \)
\(x=45^o+k\cdot 90^o \)
2. Řešte rovnici
\( (\frac{16}{81})^{\sin^2x}+(\frac{16}{81})^{\cos^2x} = \frac{26}{27} \)
Řešení:
\( (\frac{16}{81})^{\sin^2x}+(\frac{16}{81})^{1-\sin^2x} = \frac{26}{27} \)
\( (\frac{16}{81})^{\sin^2x}+ \frac{\frac{16}{81}}{(\frac{16}{81})^{\sin^2x} } = \frac{26}{27} \)
\( A=(\frac{16}{81})^{\sin^2x}\)
\( A+\frac{\frac{16}{81}}{A}= \frac{26}{27} \)
\( A^2+\frac{16}{81}= \frac{26}{27}A \)
\( A^2- \frac{26}{27}A+\frac{16}{81}=0 \)
\( D= (\frac{26}{27})^2-4\cdot \frac{16}{81} \)
\( D= \frac{26^2}{3^6}- \frac{64}{3^4}=\frac{26^2}{3^6}- \frac{9\cdot 64}{3^6}= \frac{26^2-9\cdot 64}{3^6}=\frac{100}{3^6} \)
\( A_{1,2}=\frac{\frac{26}{27}\pm\frac{10}{27}}{2}= \{ \frac{18}{27} ,\frac{8}{27} \} \)
1. řešení \( \frac{18}{27}=(\frac{16}{81})^{\sin^2x}\)
\( \frac{2}{3}=(\frac{2}{3})^{4\sin^2x}\)
\( 4\sin^2x =1\)
\( sin x =\pm\frac{1}{2} \)
\( x_1=\frac{\pi}{6}+k\cdot\pi \)
\( x_2=\frac{5\pi}{6}+k\cdot\pi \)
2. řešení \( \frac{8}{27}=(\frac{16}{81})^{\sin^2x}\)
\( (\frac{2}{3})^3=(\frac{2}{3})^{4\sin^2x}\)
\( 4\sin^2x =3\)
\( sin x =\pm\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( x_3=\frac{\pi}{3}+k\cdot\pi \)
\( x_4=\frac{2\pi}{3}+k\cdot\pi \)
3. Rozdělte pravý úhel na takové dva úhly, aby rozdíl jejich sinusů byl \( \frac{1}{3} \).
Řešení:
\( \alpha +\beta =90^o \)
\( \sin\alpha-\sin\beta =\frac{1}{3} \)
\( \sin\alpha-\sin {(90^o-\alpha)} =\frac{1}{3} \)
\( \sin\alpha - \cos\alpha =\frac{1}{3} \)
\( \sin\alpha\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}- \cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin\alpha\cdot \cos{45^o}- \cos\alpha \cdot \sin{45^o}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \sin{(\alpha-45^o)}=\frac{\sqrt{2}}{6} \)
\( \alpha - 45^o= 13,633022225366409902339940453467^o\)
\( \alpha= 58,633022225366409902339940453467^o\)
\( \beta= 31,366977774633590097660059546533^o\)
Kontrola:
\( \sin\alpha = 0,85385093760294342497023497599568^o\)
\( \sin\beta =0,52051760426961009163690164266235^o\)
\( \sin\alpha - \sin\beta =0,3333333333... \)
4. Uvnitř paraboly \( y^2 = 6x \) leží bod B(4;3) ; stanovte rovnici tětivy, která je bodem půlena.
Řešení:
Body na parabole mají souřadnice [x1,y1] a [x2, y2] a splňují rovnici paraboly, tj. \({y_1}^2=6x_1 \) a \({y_2}^2=6x_2 \)
Pro bod B pak platí: \( B= [4;3]=[\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}] \)
Pak:
\(x_1+x_2=8\) a \(y_1+y_2=6\)
\(y_1^2+y_2^2=6(x_1+x_2)=48\)
\(y_1^2+(6-y_1)^2=48\)
\( y_1^2+36-12y_1+y_1^2=48\)
\(2 y_1^2-12y_1-12=0\)
\( y_1^2-6y_1-6=0\)
\( D=36+24=60 \)
\(y_1=\frac{6\pm\sqrt{60}}{2}= 3\pm\sqrt{15} \)
\( x_1=\frac{{y_1}^2}{6}=\frac{({3\pm\sqrt{15}})^2}{6}=\frac{24\pm 6\sqrt{15}}{6}=4\pm\sqrt{15}\)
Rovnice přímky dané dvěma body (využijeme bod B):
\( y-b_y=\frac{y_1-b_y}{x_1-b_x}(x_2-b_x) \)
\( y-3=\frac{3+\sqrt{15}-3}{4+\sqrt{15}-4}(x-4)=x-4 \)
\( y=x-1 \)
5. Jak veliké jsou úhlopříčky kosočtverce, jehož strana a=65cm a plocha P=3000cm2 ?
Řešení:
Kosočtverec má dvě úhlopříčky u1, u2, které se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé.
Pro plochu platí \( P=\frac{u_1 \cdot u_2}{2} \) a pro stranu \( a^2 = (\frac{u_1}{2})^2+(\frac{u_2}{2})^2 \)
Tedy:
\(u_1 \cdot u_2 =6000\) a \( u_1^2+u_2^2=4\cdot 65^2 \)
z toho:
\( (u_1+u_2)^2=u_1^2+2\cdot u_1 u_2+u_2^2=12000+16900=28900\)
\(u_1+u_2=170\)
\(u_1+\frac{6000}{u_1}=170\)
\(u_1^2-170u_1+6000=0 \)
\(D=170^2-4\cdot 6000=4900\)
\(u_{1,2}=\frac{170\pm70}{2}= \{ 50; 120\} \)
Poznámka: Úlohu 1 považujme za komplexní, jelikož při jejím řešení je nutná znalost goniometrických funkcí, goniometrických vzorců, schopnost řešit algebraické rovnice a provádět ekvivalentní úpravy. Studentka reformně reálného gymnázia řešila spolu s touto úlohou ještě rovnici \( 6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0\). Nejen z této ukázky je vidět, že maturita byla náročnou zkouškou ukončující středoškolské vzdělání. Děvčata to opravdu lehčí neměla.
Řešení:
Standardní úloha na reciprokou kvartickou rovnici:
\( 6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0\)
\( 6x^2 - 5x - 38 - 5\frac{1}{x} + 6\frac{1}{x^2} = 0\)
\( 6 ( x^2 +\frac{1}{x^2} )- 5 (x+\frac{1}{x}) - 38 = 0\)
Substituce
\(y =x+\frac{1}{x} \) a tedy \(y^2 -2=x^2+\frac{1}{x^2} \)
\( 6 ( y^2 -2 )- 5y - 38 = 0\)
\( 6 y^2 - 5y - 50 = 0\)
\( D=25+4\cdot 6 \cdot 50=1225 =35^2\)
\(y_{1,2}=\frac{5\pm 35}{12}= \{ -\frac{5}{2} , \frac{10}{3} \} \)
Tedy
\(x+\frac{1}{x}=-\frac{5}{2} \)
\(x^2+\frac{5}{2}x+1=0 \)
\(2x^2+5x+2=0 \)
\(D=25-16=9\)
\(x_{1,2}=\frac{-5\pm3}{4}= \{-2 ,-\frac{1}{2} \} \)
a
\(x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3} \)
\(x^2-\frac{10}{3}x+1=0 \)
\(3x^2-10x+3=0 \)
\(D=100-36=64\)
\(x_{3,4}=\frac{10\pm8}{6}= \{3 ,\frac{1}{3} \} \)
\( K=\{ -2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3 \} \)
A kdyby byla studentka na úrovni, řekněme, pana Gausse, pak:
\( 6x^4 - 5x^3 - 38x^2 - 5x + 6 = 0\)
\( 6x^4-6x^3-36x^2+x^3-2x^2-5x+6=0\)
\(6x^2(x^2-x-6)+x^3-2x^2-5x+6=0\)
\(6x^2(x^2-x-6)+x(x^2-2x+1)-x-5x+6=0\)
\(6x^2(x^2-x-6)+x(x-1)^2-6(x-1)=0\)
\(6x^2(x^2-x-6)+(x-1)(x(x-1)-6)=0\)
\(6x^2(x^2-x-6)+(x-1)(x^2-x-6)=0\)
\( (x^2-x-6)(6x^2+x-1)=0\)
\( ( x-3)(x+2)(2x+1)(3x-1) = 0\)
A něco navíc:
1/10/22 z Belgické MO
Řešení
Zde AC značí velikost úsečky AC, značení bodů viz náčrtek.
\( AC^2=1^2+3^2=10 \)
\(FG^2=AF^2-AG^2=3^2-\frac{10}{4}=6,5\)
\(FE=2 \sqrt{6,5} = \sqrt{26}= 5,09902...\)
Geogebra:
2/10/22
Určete funkci f, pro kterou platí
\( f(\frac{1}{x})+f(1-x)=x \)
Jedná se o funkcionální rovnici a uvedu následující netriviální řešení:
1. \(y=\frac{1}{x} \) pak \( f(y)+f(1-\frac{1}{y})=\frac{1}{y} \) to je \( f(y)+f(\frac{y-1}{y})=\frac{1}{y} \)
2. \(x=1-y \) pak \( f(\frac{1}{1-y})+f(1-1+y)=1-y \) to je \( f(\frac{1}{1-y})+f(y)=1-y \)
3. \( x=\frac{y}{y-1} \) pak \( f(\frac{y-1}{y})+f(1-\frac{y}{y-1})=\frac{y}{y-1}\) to je \( f(\frac{y-1}{y})+f(\frac{1}{1-y})=\frac{y}{y-1} \)
Pak
\( f(y)+f(\frac{y-1}{y}) + f(\frac{1}{1-y})+f(y) -( f(\frac{y-1}{y})+f(\frac{1}{1-y})) =\frac{1}{y} +1-y-\frac{y}{y-1} \)
\( 2f(y) = \frac{1}{y} +1-y-\frac{y}{y-1} =\frac{y^3-y^2+1}{y(y-1)} \)
To jest
\( f(x) = \frac{x^3-x^2+1}{2x(x-1)} \)
A co to vůbec je za funkci?
